\section{一维运动的一般性质}\label{sec:06.05}

现在我们讨论一维运动。例如沿着直线的运动，并假定力是
保守的。用$ x $表示位置坐标。

由一维情况功与力的关系式\eqref{eqn:06.02.06}
\begin{equation*}
  A _ { 1 \to 2 } = \int _ { x _ { 1 }} ^ { x _ { 2 } } F \dif x
\end{equation*}\label{err:06.05.01}
以及力是保守的，即
\begin{align*}
                 & A _ { 1 \to 2 } = V \left( x _ { 1 } \right) - V \left( x _ { 2 } \right)                              \\
  \beforetext{有} & V \left( x _ { 1 } \right) - V \left( x _ { 2 } \right) = \int _ { x _ { 1 }} ^ { x _ { 2 } } F \dif x
\end{align*}\label{err:06.05.02}
由此可知，一维情况下的保守力$ F $可表示为
\begin{equation}\label{eqn:06.05.01}
  F = - \frac { \dif V } { \dif x }
\end{equation}
或者，凡是能表示成式\eqref{eqn:06.05.01}形式的力一定是保守力。例如，对于%
% 183.jpg
\clearpage\noindent%
自由落体运动，如果取坐标$ x $为从地面算起的高度，则重力和
其势能函数分别为
\begin{equation*}
  F = - m g \qquad V = m g x + V _ 0
\end{equation*}
其中$ V _ 0 $为任意常数。由选择势能的零点所确定。若选择地面(即
$ x = 0 $)处的势能为零，则$ V _ { 0 } = 0 $ 。

一维情况的质点的机械能守恒，有下列的形式：
\begin{equation}\label{eqn:06.05.02}
  \frac { 1 } { 2 } m \left( \frac { \dif x } { \dif t } \right) ^ { 2 } + V \left( x \right) = E
\end{equation}
由于质点的动能
$ \dfrac { 1 } { 2 } m \left( \dfrac { \dif x } { \dif t } \right) ^ { 2 } $
不能为负值，所以上式给我们一个不等式
\begin{equation}\label{eqn:06.05.03}
  E \geqslant V \left( x \right)
\end{equation}
这个不等式的物理意义是很显然的，它表示质点的总能量总是大
于或等于势能。根据这个论断，只要知道了势能函数$ V\left(x\right) $以及质
点的能量，不必详细求解运动方程，质点的运动范围就完全确定
了。下面举例说明。

设质点的势能函数$ V \left( x \right) $如图\ref{fig:06.12}所示，这种曲线常称为势能
\begin{figure}[h]
  \centering
  \includegraphics{figure/fig06.12}
  \caption{势能函数及运动性质}
  \label{fig:06.12}
  \vspace{-0.8em}
\end{figure}
% 184.jpg
\clearpage\noindent
曲线，图\ref{fig:06.02}中的$ mgz $线就是重力势能曲线。


由图\ref{fig:06.12}，如果质点的能量$ E=E_2 $，则不等式\eqref{eqn:06.05.03}要求$x _ 1
  < x < x _ 2$，这表示具有能量$ E_2 $的质点只能在$ x_1 $与$ x_2 $之间运动，$ x_1 $与
$ x_2 $是方程$ V \left(x\right) = E_2 $的两个根。这种在有限范围中的运动称为束
缚运动。对于图\ref{fig:06.12}所表示的势能函数，当质点能量在$ E_1 \leqslant E \leqslant 0 $时，都是作束缚运动。

当质点能量$ E > 0 $时，运动范围可以延伸到无限远。例如，当
$ E = E _ 3 $时，质点可以在$ -\infty < x \leqslant x_3 $，或者$ x_4 \leqslant x < \infty $两个无限的
范围中运动，其中$ x_3 $，$ x_4 $是方程$ V \left( x \right) = E _ { 3 } $的两个根。当$ E = E _ 5 $
时，质点可以在整个$ x $的范围，即$ - \infty < x < \infty $中运动。这种具有
无限范围的运动，称为非束缚的，或自由运动。

对于$ E = E _ 3 $情况，如果开始时质点在$ x > x _ { 4 } $的范围中运动，
则它永远不会跑到$ x < x_3 $的范围中去。因为从$ x > x _ { 4 } $到$ x < x _ 3 $，必
须经过$ x_3 < x < x_4 $，而这一范围质点是不可能进入的。所以，对于
能量为$ E_3 $的质点来说，势能函数的作用相当于在$ x _ { 3 } < x < x _ { 4 } $范围
中造成一个不可逾越的壁垒，常称为势垒。

当$ E = E _ 1 $时，质点只能处于$ x = x_5 $点，它的动能为零，速度为
零，所以，这是静止的质点。从受力的角度来分析，由于$ x = x_5 $
是$ V\left(x\right) $的极小点，故有
\begin{equation*}
  F \left( x _ { 5 } \right) = - \left( \frac { \dif v } { \dif x } \right) _ { x _ 5 } = 0
\end{equation*}
即处在$ x = x_5 $的质点并不受力。所以，它能保持速度为零的状态，
即静止的状态。

当质点处于$ x = x_6 $时，同样有
\begin{equation*}
  F \left( x _ { 6 } \right) = - \left( \frac { \dif v } { \dif x } \right) _ { x _ 6 } = 0
\end{equation*}
也是不受力的。因此，对于能量为$ E _ { 4 } = V \left( x _ { 6 } \right) $的质点，在$ x = x _ { 6 } $
处的动能为零，速度为零，并也能保持速度为零的状态不变，处
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于静止。

但是，$ E = E _ { 1 } $，及$ E = E _ 4 $两种静止状态是十分不同的。在前
一情况，不等式\eqref{eqn:06.05.03}要求质点只能处于$ x = x _ { 5 } $；而在后一情况，
质点可以处于$ - \infty < x < \infty $整个范围。所以，前一种静止状态是
稳定的，它不可能离开静止状态；后一种静止是不稳定的，它可
以偏离静止变成运动状态。

讨论了运动范围之后，我们来讨论运动解。

由式\eqref{eqn:06.05.02}，可以得到
\begin{equation*}
  \frac { \dif x } { \dif t } = \pm \sqrt { \frac { 2 } { m } \left( E - V \left( x \right) \right) }
\end{equation*}
正号和负号分别表示沿正$ x $及负$ x $方向的运动。积分上式，就得到
\begin{equation}\label{eqn:06.05.04}
  t = \pm \sqrt { \frac { m } { 2 } } \int _ { x _ { 0 } } ^ { x } \frac { \dif x } { \sqrt { E - V \left( x \right) } }
\end{equation}
利用上式可以求出作束缚运动的质点从$ x_1 $到$ x_2 $(图6.12)所用的
时间，即
\begin{equation}\label{eqn:06.05.05}
  \sqrt { \frac { m } { 2 } } \int _ { x _ { 1 } } ^ { x _ { 2 } } \frac { \dif x } { \sqrt { E _ { 2 } - V \left( x \right) } }
\end{equation}
当质点到了$ x_2 $，它的速度变为零，因为$ E _ { 2 } = V \left( x _ { 2 } \right) $。但在$ x_2 $点，
$ \dfrac { \dif V } { \dif x } > 0 $
，所以，$ F < 0 $，即力是指向负$ x $方向的，这个力使质点
发生沿着负$ x $方向运动，也就是说，力使质点在$ x_2 $处改变运动
方向，质点从$ x_2 $回到$ x_1 $所用的时间为
\begin{equation}\label{eqn:06.05.06}
  - \sqrt { \frac { m } { 2 } } \int _ { x _ { 2 } } ^ { x _ { 1 } } \frac { \dif x } { \sqrt { E _ { 2 } - V \left( x \right) } }
\end{equation}
根据上述类似的讨论可知，质点到达$ x_1 $后，运动方向也发生变
化，从负$ x $方向变为正$ x $方向。总之，束缚运动是质点在$ x_1 $与$ x_2 $
之间来回振荡的运动。质点完成一个运动循环(从$ x_1 $到$ x_2 $再回到$
  x _ { 1 } $)的时间，称为周期。由式\eqref{eqn:06.05.05}及式\eqref{eqn:06.05.06}二者之和，就
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可以求出周期是
\begin{equation}\label{eqn:06.05.07}
  T = \sqrt { 2 m } \int _ { x _ { 1 } } ^ { x _ { 2 } } \frac { \dif x } { \sqrt { { E _ { 2 } - V \left( x \right) } } }
\end{equation}
可见运动周期一般是与质点的能量有关的。

\example 如果势能函数为
\begin{equation*}
  V \left( x \right) = \begin{cases}
    0,      & - \dfrac { l }{ 2 } \leqslant x \leqslant \dfrac { l } { 2 } \\
    \infty, & x < - \dfrac { l } { 2 }, x > \dfrac { l } { 2 }
  \end{cases}
\end{equation*}
就称为方势阱，它的势能曲线见图\ref{fig:06.13}。

\begin{wrapfigure}[9]{r}{15em}
  \vspace{-2em}
  \centering
  \includegraphics{figure/fig06.13}
  \caption{无限深的方势阱}
  \label{fig:06.13}
\end{wrapfigure}
当质点在位于$ x = \pm \dfrac { l } { 2 } $
的两个刚性壁之间运动时，它的势能函数就近似是一方
势阱。在这种势能函数下，无论什么能量，运动都是
束缚的，运动范围限制在
$ - \dfrac { l } { 2 } \leqslant x \leqslant \dfrac { l } { 2 } $之间。它的运
动周期，按式\eqref{eqn:06.05.07}可以
求得为

\begin{equation*}
  T = \sqrt { \frac { 2 m } { E } } \int _ { - \frac { l } { 2 } } ^ { \frac { l } { 2 } } \dif x = \sqrt { \frac { 2 m } { E } } l
\end{equation*}
在运动范围中，$ V = 0 $，所以$ E = \dfrac { 1 } { 2 } m v ^ { 2 } $，因此上式还可以写成
\begin{equation*}
  T = \frac { 2 l } { v }
\end{equation*}
这个结果是显然的，它表示以速度$ v $运动的质点来回一周所需的
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时间。

\clearpage
\example 注意第五章的式\eqref{eqn:05.05.07}，即
\begin{equation}\label{eqn:06.05.08}
  \left[ \frac { 1 } { R _ { 0 } } \left( \frac { \dif R } { \dif t } \right) \right] ^ { 2 }- \frac { 8 \uppi G } { 3 } \rho _ 0 \frac { 1 } { \left( \dfrac { R } { R _ { 0 } } \right) } = K
\end{equation}
它在形式上与式\eqref{eqn:06.05.02}是相似的，现在$ R $相当于$ x $，式中第一项
相当于宇宙膨胀的动能，第二项是引力势能，而$ K $是“总能”。
我们在第五章中已指出，当$ K < 0 $时，宇宙膨胀将来会停止，而变
成收缩。

从一维运动的观点看，由式\eqref{eqn:06.05.08}所描写的一维运动，当$ K
  <0 $时是束缚的运动。因此，我们可以计算$ R $从0增大到$ R_{\max} $(相当
于整个宇宙膨胀阶段)再从$ R_{\max} $回到0(相当于将来发生的宇宙收
缩阶段)整个需要多少时间。利用类似于推求式\eqref{eqn:06.05.07}的方法，
可以推求出宇宙完成一个膨胀-收缩循环的时间为
\begin{equation}\label{eqn:06.05.09}
  t = 2 \frac { 1 } { R _ { 0 } } \int _ 0 ^ { R _ { \max } } \frac { \dif R } { \sqrt { \dfrac { 8 \uppi G } { 3 } \rho _ { 0 } R _ { 0 } \dfrac { 1 } { R } - | K | } }
\end{equation}
其中
\begin{equation*}
  R _ { \max } = \frac { 8 \uppi G \rho _ { 0 } R _ { 0 } } { 3 | K | }
\end{equation*}
作变量代换
\begin{equation*}
  R ' = \frac { R } { \left( \dfrac { 4 \uppi G \rho _ { 0 } R _ { 0 } } { 3 | K | } \right) }
\end{equation*}
式\eqref{eqn:06.05.09}成为
\begin{equation}\label{eqn:06.05.10}
  \begin{aligned}
    t & = \frac { 8 \uppi G \rho _ { 0 } } { 3 { | K | } ^ { 3 / 2 } } \int _ { 0 } ^ { 2 } \frac { \dif R ' } { \sqrt { \dfrac { 2 } { R ' } - 1 } } \\
      & = \uppi \frac { 8 \uppi G \rho _ { 0 } } { 3 { | K | } ^ { 3 / 2 } }
  \end{aligned}
\end{equation}
% 188.jpg
如果我们当今宇宙中的平均质量密度$ \rho _ 0 $是临界密度$ \rho _ c $的2倍，即
\begin{equation}\label{eqn:06.05.11}
  \rho _ { 0 } = 2 \rho _ { c } = 2 \frac { 3 H _ 0 ^ { 2 } } { 8 \uppi G }
\end{equation}
则由式\eqref{eqn:05.05.12}有
\begin{equation}\label{eqn:06.05.12}
  K = - H _ { 0 } ^ { 2 }
\end{equation}
将式\eqref{eqn:06.05.11}及式\eqref{eqn:06.05.12}代入式 \eqref{eqn:06.05.10}，得到
\begin{equation}\label{eqn:06.05.13}
  t = 2 \uppi \frac { 1 } { H _ { 0 } }
\end{equation}
再利用式\eqref{eqn:05.04.06}给出的观测值$ H _ { 0 } $，就得到
\begin{equation*}
  t \approx 1.26 \times 10 ^ { 11 } \text{年}
\end{equation*}
这就是宇宙的演化时间尺度。
